Gli argomenti di ricerca nell’ambito dell’Analisi Matematica riguardano i seguenti campi
- METODI VARIAZIONALI per equazioni e sistemi di equazioni semilineari ellittiche
Tecniche variazionali sono applicate nello studio del problema dell’esistenza e molteplicità di diversi tipi di soluzioni intere per equazioni o sistemi di equazioni semilineari ellittiche riconducibili a equazioni della Fisica Matematica quali Ginzburg-Landau, Allen-Cahn, Sine-Gordon e Schroedinger stazionario.
Francesca Alessio e Piero Montecchiari
- Metodi topologici in analisi non lineare
Costruzione di una teoria del grado topologico per perturbazioni non compatte di applicazioni di Fredholm di indice zero tra spazi di Banach. Studio di varie proprietà legate al grado, come ad esempio la validità di un teorema di mappa dispari tipo Borsuk. Definizione del concetto di spettro in un punto per applicazioni continue, non lineari, tra spazi di Banach. Appplicazioni della teoria del grado topologico e della teoria dell’indice di punto fisso a problemi di continuazione. Studio di equazioni differenziali con ritardo su varietà differenziabili, con particolare attenzione alla biforcazione di soluzioni periodiche. Studio di equazioni algebro-differenziali, con particolare attenzione alla biforcazione di soluzioni periodiche.
- Equazioni ellittiche e paraboliche governate da Laplaciano e p-Laplaciano.
Lo studio delle soluzioni radiali per equazioni quasilineari ellittiche si riduce all’analisi di una EDO singolare. Utilizzando un cambio di variabili, noto come trasformazione di Fowler, e una sua generalizzazione, tale problema si riconduce ad un sistema di due equazioni nel piano. In tale contesto risulta possibile tradurre l’identità di Pohozaev come un funzionale energia, ed utilizzare tecniche tipiche dei sistemi dinamici autonomi e non (varietà invariante, teoria di Melnikov, etc). Questo punto di vista è particolarmente utile per problemi critici, supercritici o di tipo misto, non omogenei, e per l’analisi di soluzioni singolari. Sfruttando i Teoremi di struttura e di ordinamento per le soluzioni radiali e positive del problema ellittico, si può inoltre studiare il comportamento per tempi grandi delle soluzioni (anche non radiali) dei problemi di Cauchy del parabolico associato.
- Studio dell’esistenza e delle proprietà di minimi per funzionali non convessi e non coercivi del Calcolo delle Variazioni.
Si analizzano problemi variazionali con funzioni lagrangiane non convesse e non coercive, eventualmente discontinue, cercando di collegare l’esistenza o la non esistenza del minimo ai dati al bordo. In questo contesto si studiano anche le proprietà a priori dei possibili minimi, come le bi-monotonia, attraverso le quali si possono ottenere condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l’esistenza del minimo. - Proprietà dei fronti d’onda per equazioni di reazione-diffusione.
La ricerca ha per oggetto lo studio dell’esistenza e delle proprietà delle soluzioni tipo fronte d’onda per equazioni di reazione-diffusione, anche in presenza di termini di convezione, o con coefficienti di diffusività che possono cambiare segno, modellizzando così anche processi aggregativi.
- Problemi ai limiti su tutta la retta reale governati da operatori differenziali non lineari.
In questo ambito viene studiata l’esistenza di soluzioni eterocline di equazioni e inclusioni differenziali molto generali, governate da operatori differenziali non lineari, che estendono il classico p-Laplaciano, e che possono essere anche singolari o non suriettivi.
Stefano Biagi, Alessandro Calamai, Teresa Isernia, Cristina Marcelli e Francesca Papalini