- Metodi variazionali per equazioni e sistemi di equazioni semilineari ellittiche.
Tecniche variazionali sono applicate nello studio del problema dell’esistenza e molteplicità di diversi tipi di soluzioni intere per equazioni o sistemi di equazioni semilineari ellittiche riconducibili a equazioni della Fisica Matematica quali Ginzburg-Landau, Allen-Cahn, Sine-Gordon e Schroedinger stazionario.
Francesca Alessio, Piero Montecchiari
- Metodi topologici in analisi non lineare.
Costruzione di una teoria del grado topologico per perturbazioni non compatte di applicazioni di Fredholm di indice zero tra spazi di Banach. Studio di varie proprietà legate al grado, come ad esempio la validità di un teorema di mappa dispari tipo Borsuk. Definizione del concetto di spettro in un punto per applicazioni continue, non lineari, tra spazi di Banach. Appplicazioni della teoria del grado topologico e della teoria dell’indice di punto fisso a problemi di continuazione. Studio di equazioni differenziali con ritardo su varietà differenziabili, con particolare attenzione alla biforcazione di soluzioni periodiche. Studio di equazioni algebro-differenziali, con particolare attenzione alla biforcazione di soluzioni periodiche.
Alessandro Calamai
- Studio dell’esistenza e delle proprietà di minimi per funzionali non convessi e non coercivi del Calcolo delle Variazioni.
Si analizzano problemi variazionali con funzioni lagrangiane non convesse e non coercive, eventualmente discontinue, cercando di collegare l’esistenza o la non esistenza del minimo ai dati al bordo. In questo contesto si studiano anche le proprietà a priori dei possibili minimi, come le bi-monotonia, attraverso le quali si possono ottenere condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l’esistenza del minimo.
Cristina Marcelli
- Proprietà dei fronti d’onda per equazioni di reazione-diffusione.
La ricerca ha per oggetto lo studio dell’esistenza e delle proprietà delle soluzioni tipo fronte d’onda per equazioni di reazione-diffusione, anche in presenza di termini di convezione, o con coefficienti di diffusività che possono cambiare segno, modellizzando così anche processi aggregativi.
Cristina Marcelli
- Problemi ai limiti su tutta la retta reale governati da operatori differenziali non lineari.
In questo ambito viene studiata l’esistenza di soluzioni eterocline di equazioni e inclusioni differenziali molto generali, governate da operatori differenziali non lineari, che estendono il classico p-Laplaciano, e che possono essere anche singolari o non suriettivi.
Francesca Anceschi, Alessandro Calamai, Cristina Marcelli, Francesca Papalini
- Problemi nonlocali di tipo Laplaciano Frazionario
Attraverso l’uso di opportuni metodi topologici e variazionali, è possibile considerare questioni relative l’esistenza, la molteplicità e le proprietà qualitative delle soluzioni di differenti problemi non lineari coinvolgenti operatori non locali di tipo frazionario. Ricordiamo che negli ultimi anni questi operatori hanno ricevuto un notevole interesse dovuto alla loro applicazione in differenti ambiti della ricerca quali ottimizzazione, finanza, transizione di fase, diffusioni anomale, dislocazione dei cristalli, leggi di conservazione, meccanica quantistica e fenomeni di elasticità non locale. I problemi non locali non sono equazioni alle derivate parziali ma piuttosto equazioni integrali. La maggiore difficoltà nello studio di questi è legata al fatto che l’operatore portante deve tener conto del comportamento delle soluzioni anche nell’intero spazio e non solo localmente. Questo è in forte contrasto con le EDP classiche che sono guidate da operatori differenziali locali come il Laplaciano. In modo particolare, consideriamo soluzioni eterocline per equazioni di Allen-Cahn frazionarie, soluzioni positive e nodali per equazioni non lineari frazionarie di tipo Schrödinger in RN con differenti tipi di potenziale e non linearità con crescita sottocritica, critica e supercritica, problemi frazionari di tipo Kirchhoff (degeneri e non), soluzioni periodiche per equazioni frazionarie, e soluzioni non banali a valori complessi per equazioni non locali con operatori frazionari con campi magnetici, modelli matematici per la caratterizzazione del comportamento elastico di materiali compositi.
Vincenzo Ambrosio, Giuseppina Autuori, Teresa Isernia, Letizia Temperini
- Problemi di formazione ed evoluzione di pattern
Si studiano problemi di formazione ed evoluzione di pattern per problemi del quarto ordine. In particolare si è interessati nello studio di soluzioni stazionarie, travelling waves e soluzioni autosimilari. Attraverso lo studio di tali soluzioni si vuole descrivere fenomeni qualitativi della dinamica come la presenza di varie scale temporali e fenomeni di coarsening. Inoltre, si è interessati agli effetti prodotti da perturbazioni stocastiche e non autonome sul comportamento qualitativo delle soluzioni. I metodi utilizzati spaziano dalla teoria delle equazioni ordinarie a quella dei problemi di evoluzione, dalla teoria degli attrattori a quella dei sistemi dinamici aleatori.
Renato Colucci
- Problemi di evoluzione nonlineari
L’interesse è rivolto a sistemi iperbolici dominati dall’operatore p-Laplaciano, l’operatore poliarmonico e/o generalizzazioni di essi, caratterizzati dalla presenza di una o più funzioni di Kirchhoff, nonché da termini di sorgente e di smorzamento nonlineari e dipendenti dal tempo. La questione è incentrata sulla competitività delle forze di spinta contro quelle frenanti al fine di studiare: stabilità asintotica e fenomeni di blow up all’infinito di soluzioni globali; non-prolungabilità, blow-up in tempo finito e stime a priori sui tempi di vita di soluzioni locali massimali. Tali questioni vengono affrontate sia in contesti di tipo classico che in contesti generalizzati dati dagli spazi di Sobolev ad esponente variabile, i quali costituiscono l’assetto funzionale migliore per studiare problemi in cui il materiale modellato presenta caratteristiche non-omogenee o subisce cambiamenti fisico-chimici che ne influenzano le caratteristiche strutturali e il loro impiego. Ciò giustifica l’interesse di simili problematiche in svariate applicazioni. Le tecniche dimostrative si fondano su combinazioni originali dei classici metodi di concavità e della valle di potenziale, attraverso opportune stime sul funzionale energia associato al sistema.
Giuseppina Autuori
- Equazioni di evoluzione dissipative
Le equazioni considerate coinvolgono anche operatori differenziali nonlocali di tipo frazionario, tra cui il laplaciano frazionario in spazio e le derivate di Caputo o di Riemann-Liouville in tempo; tali operatori differenziali sono sempre più utilizzati nella descrizione di fenomeni fisici in cui compaiono processi di ereditarietà, in aree come la reologia, la biologia e la meccanica dei mezzi porosi.
Giovanni Girardi
- Equazioni cinetiche: teoria della regolarità e problemi di buona positura
Le equazioni cinetiche sono una classe di equazioni di evoluzione alle derivate parziali del secondo ordine possibilmente degeneri che modellizzano la diffusione di sistemi di particelle nello spazio delle fasi. Tra gli esempi più classici che si possono considerare ricordiamo l’equazione di Kolmogorov-Fokker-Planck, l’equazione di Boltzmann e l’equazione di Landau, che trovano svariate applicazioni in campo fisico ed economico. Tramite la combinazione di stime a priori, teoria del potenziale e metodi variazionali si studia la buona positura di problemi al bordo (di tipo Cauchy e Dirichlet) e la regolarità (interna e fino al bordo) di soluzioni deboli.
Francesca Anceschi, Teresa Isernia