Il riferimento principale per il corso sono le lezioni svolte in aula; il programma d’esame verterà su ciò che è stato svolto in aula.

Per una migliore comprensione, approfondimenti e studio individuale di ciascun argomento, vengono qui indicati i riferimenti bibliografici più adatti.

Programma svolto (gli argomenti in grassetto sono stati svolti con dimostrazione; fare comunque riferimento alle lezioni svolte in aula per l’elenco esatto di tutte le dimostrazioni svolte, compresi lemmi, proprietà, ecc.)

Equazioni differenziali.

Generalità. Equazioni del I ordine a variabili separabili. Equazioni lineari di ordine n omogenee e non omogenee: teorema di Cauchy (esistenza e unicità), struttura dell’insieme delle soluzioni. Equazioni lineari del I ordine: formula per l’ integrale generale. Equazioni lineari del II ordine: indipendenza, wronskiano, criterio di indipendenza, struttura dell’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea. Equazione caratteristica, integrale generale esplicito nel caso di coefficienti costanti. Equazioni lineari del II ordine non omogenee: metodo della somiglianza, metodo di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange, metodo di sovrapposizione. Cenni alle equazioni lineari di ordine superiore: teorema del wronskiano e struttura dell’insieme delle soluzioni (solo enunciati).

RIFERIMENTO: Libro di testo consigliato (Fusco-Marcellini-Sbordone 2001)

Trasformata di Laplace nel campo reale.

Funzioni generalmente continue e generalmente regolari: proprietà e formula fondamentale del calcolo integrale. Funzioni di ordine esponenziale: proprietà (alcune con dimostrazione). Integrale di Laplace, ascissa di convergenza (convergenza dell’integrale di Laplace), definizione di trasformata di Laplace. Proprietà della trasformata di Laplace (alcune con dimostrazione, in particolare le proprietà differenziali ed integrali delle trasformate).  Funzioni equivalenti, teorema di unicità di Lerch, antitrasformata di Laplace e sue proprietà. Uso delle trasformate nella risoluzione di problemi di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali lineari.

RIFERIMENTO: Dispense della Prof.ssa Marcelli + Esercizi della Prof.ssa Marcelli

Curve e integrali curvilinei.

Curve in R^n : equazioni parametriche, curve chiuse, semplici, regolari, vettore tangente. Curve cartesiane. Riparametrizzazioni, curve equivalenti, curve orientate. Lunghezza di una curva e sua indipendenza da riparametrizzazioni, curve rettificabili, teorema di rettificabilità. Definizione di ascissa curvilinea. Curvatura e riferimento mobile di Frenet ({T, N}) nel piano. Integrale curvilineo di una funzione: motivazione e significato intuitivo, definizione, proprietà elementari, invarianza per riparametrizzazioni.

RIFERIMENTO: Libro di testo consigliato + M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009

Topologia di R^n.

Strutture di R^n: spazio vettoriale, spazio euclideo, spazio normato, spazio metrico. Definizione e proprietà di prodotto scalare, norma, distanza. Definizione di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato ed esempi. Interno, esterno, frontiera di un sottoinsieme di R^n; insiemi aperti, chiusi, limitati, connessi. Domini. Convergenza di successioni in R^n ed insiemi compatti. Esempi.

RIFERIMENTO: Dispense della Prof.ssa Marcelli+ Libro di testo consigliato

Funzioni di più variabili: calcolo differenziale.

Definizione. Dominio, grafico e superfici di livello. Definizione sequenziale e topologica di limite, proprietà elementari (limite di somme, prodotti, …). Non esistenza di limiti mediante restrizione a rette/curve (condizione necessaria di esistenza). Calcolo di limiti tramite passaggio a coordinate polari: condizione necessaria e condizione sufficiente di esistenza del limite (uniformità nell’angolo theta). Definizione di funzione continua, enunciati dei teoremi di: permanenza del segno, Weierstrass, dei valori intermedi, degli zeri. Estensione delle definizioni a funzioni a valori vettoriali.

Derivate direzionali, derivate parziali e loro proprietà, definizione di derivabilità in un punto, definizione di gradiente. Relazioni tra derivabilità e continuità. Derivate seconde, matrice Hessiana, teorema di Schwarz. Definizione di funzione differenziabile e di differenziale. Relazioni tra differenziabilità, continuità e derivabilità. Formula del gradiente e direzioni di massima pendenza. Piano tangente. Teorema del differenziale. Definizioni per funzioni a valori vettoriali, matrice Jacobiana. Differenziale di funzioni composte (in R^2, solo cenni per R^n). Funzioni con gradiente nullo in un connesso, formula di Taylor al II ordine (solo enunciati). Esempi ed esercizi.

Massimi, minimi e selle: definizioni, condizione necessaria del I ordine, condizione necessaria del II ordine, condizione sufficiente del II ordine in R^n (solo enunciati). Condizione necessaria in R^2 (determinante dell’Hessiana e segno delle derivate seconde), condizione sufficiente in R^2 (traccia/determinante dell’Hessiana). Esempi ed esercizi.

RIFERIMENTO: Libro di testo consigliato + M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009 (in particolare pag. 122-124)

Funzioni di più variabili: calcolo integrale.

Definizione di integrale doppio alla Riemann su rettangoli, formule di riduzione su rettangoli. Definizione di integrale su domini normali, formule di riduzione. Interpretazione dell’integrale doppio come volume sotteso da superfici cartesiane, area di domini normali nel piano. Cenni ad insiemi misurabili e di misura nulla. Proprietà dell’integrale doppio: linearità, monotonia nell’integranda e nel dominio, additività sui domini e annullamento. Cambi di variabile. Enunciato del primo teorema di Guldino. Baricentro, massa e cenni al momento d’inerzia rispetto a un asse perpendicolare al piano (x, y). Integrali tripli: cenni alla costruzione astratta. Domini normali rispetto ad un piano, integrazione per fili e per strati: significato e formule di riduzione. Baricentro e massa di regioni nello spazio. Cambiamenti di variabile negli integrali tripli: coordinate polari sferiche e cilindriche. Esempi ed esercizi.

RIFERIMENTO: Libro di testo consigliato + M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009.

Campi vettoriali, lavoro e potenziali.

Definizione di campo vettoriale. Linee di campo. Gradiente, rotore, divergenza e loro proprietà. Definizione di lavoro di un campo vettoriale lungo una curva orientata, comportamento rispetto a riparametrizzazioni (invarianza per sole riparametrizzazioni che conservano l’orientazione). Campi conservativi e potenziali: definizione, dipendenza del lavoro dai soli estremi del percorso, caratterizzazione in termini di lavoro lungo curve chiuse e lungo curve con stessi estremi. Aperti semplicemente connessi, definizione di campo irrotazionale in R^n, relazioni tra conservativo e irrotazionale. Campi a divergenza nulla e potenziali vettori (solo cenni), cenni al linguaggio delle forme differenziali. Esempi ed esercizi.

Orientazione positiva del bordo di domini in R^2. Formule di Gauss-Green, teorema di Stokes in R^2. Teorema della divergenza. Calcolo dell’area di un sottoinsieme di R^2 mediante le formule di Gauss-Green, formule di integrazione per parti. Esempi ed esercizi.

RIFERIMENTO: Libro di testo consigliato + M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009 + Dispense della Prof.ssa Marcelli

Superfici parametriche e integrali di superficie.

Definizione di superficie regolare. Esempi: cilindro, sfera, cono, superfici di rotazione. Significato della condizione di rango massimo della jacobiana della parametrizzazione. Piano tangente, versore normale. Superfici orientabili, superfici con bordo, orientazione del bordo. Riparametrizzazioni, superfici equivalenti e fortemente equivalenti. Area di una superficie e integrali di superficie; teorema di Guldino. Massa e baricentro di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie, teorema della divergenza, teorema di Stokes. Esempi ed esercizi.

RIFERIMENTO: Libro di testo consigliato